Як вирішувати многочлени вищих порядків

Ця стаття розповість вам, як знайти всі раціональні корені і в деяких (сприятливих) випадках - ірраціональні або комплексні корені многочленів вищих порядків.

кроки

Зображення з назвою Solve Higher Degree Polynomials Step 1
1
Знайдіть найбільший спільний дільник (НСД). Наприклад, в многочлене 5x ^ 3 + 15x ^ 2 + 100x + 20 кожен коефіцієнт кратний 5. Тому цей многочлен можна спростити, винісши 5 за дужки: 5 (х ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4) - цей многочлен має такі ж коріння, як і многочлен х ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4.
  • Зображення з назвою Solve Higher Degree Polynomials Step 2

    Відео: Однорідні діффури вищих порядків

    2
    Будь многочлен другого порядку (ступеня 2) може бути вирішене алгебраїчно. Розкладіть його на множники або використовуйте формулу для знаходження коренів многочлена другого порядку. Порада: обчисліть дискриминант (b ^ 2-4ac) і, якщо його значення позитивне, то існують два раціональних корня- якщо дискримінант дорівнює 0, то існує тільки один корень- якщо значення дискримінанту негативне, то корінням є комплексні числа (a + bi і a-bi). Аналогічно з рівняннями, які не можна розкласти на множники, що включають тільки раціональні числа: (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2.
  • Зображення з назвою Solve Higher Degree Polynomials Step 3
    3
    Використовуйте правило знаків Декарта, щоб визначити максимальну кількість позитивних і негативних дійсних коренів.
  • Порахуйте число змін знаку (з позитивного на негативний). Наприклад, в х ^ 2 - х + 6 знак змінюється два рази-це значить, що даний многочлен має два або не має позитивних дійсних коренів (в даному випадку не має, так як корінням цього многочлена є комплексні числа).
  • замініть "х" на "-х": (-х) ^ 2 - (х) + 6 = х ^ 2 + х + 6. Порахуйте число змін знаку або знайдіть число негативних дійсних коренів. Цей многочлен не має негативних дійсних коренів.
  • Зображення з назвою Solve Higher Degree Polynomials Step 4
    4
    Проведіть тест на раціональні коріння. Можливими раціональними коренями є P / Q, де P ділить вільний член, а Q ділить коефіцієнт при змінної вищого порядку. Поділіть многочлени за схемою Горнера для перевірки наявності раціональних коренів. Делите многочлен як на позитивні, так і на негативні подільники (якщо тільки згідно з правилом знаків Декарта не існує ні позитивні, ні негативні дійсні корені).

    Відео: Лінійні дифф. рівняння вищих порядків

  • Зображення з назвою Solve Higher Degree Polynomials Step 5
    5
    Якщо ви думаєте, що у многочлена два кореня, знайдіть НСД многочлена і його першу похідну. Якщо НСД є коефіцієнтом, то коріння многочлена різні. Якщо ступінь НСД більше одиниці, то ви знайшли дільник, коріння якого є кратними корінням вихідного многочлена.

    • Поради

    Відео: Теорема Безу і розкладання многочлена на множники

    • При вирішенні многочленів записуйте його хід, а потім перевіряйте отриману відповідь.
    • Існують формули для вирішення многочленів третього і четвертого порядків. Вони досить складні і використовуються не часто (крім як на комп`ютері). Багаточлени 5 і більшого порядку, як правило, неможливо розв`язати, тільки якщо вони не розкладаються на множники.
    • Після знаходження будь-якого кореня або дільника, розділіть на нього вихідний многочлен. Це спростить знаходження інших коренів. Наприклад, х ^ 3-1 має корінь х = 1 тому (х ^ 3-1) / (х-1) = х ^ 2 + х + 1 (цей многочлен другого ступеня легко вирішується). Це також простий спосіб перевірити ваше припущення. Якщо ви думаєте, що х = 3 є коренем вихідного многочлена, але він не ділиться на х-3 без залишку, то ви помилилися і х = 3 не є коренем.
    • Є багато способів знайти корені многочленів. Багато з них застосовні до того чи іншого многочлену (щоб визначити який, потрібно застосувати кожен з цих способів). Тому корисно знати всі способи, щоб збільшити ймовірність рішення будь-якого многочлена.
    • Коріння і рішення многочлена - це значення (я) змінної "х", При якому многочлен дорівнює нулю.

    попередження

    • Використовуйте олівець!
    • Двічі перевірте відповідь!
    • Якщо відповідь - комплексне число, не забудьте, що їх завжди два. Наприклад, якщо корінь рівняння дорівнює х-3i, то коренем рівняння також є х + 3i.
    • При розподілі за схемою Горнера не забудьте використовувати як позитивні, так і негативні подільники.
    Поділися в соц мережах:

    Увага, тільки СЬОГОДНІ!
    —хоже

    Увага, тільки СЬОГОДНІ!