Як порахувати інтерполяцію

Уявіть собі, що функція y = f (x) на відрізку [a, b] задана таблично (див. Рис. 1). Дані таблиці найчастіше містять досвідчені дані. Аргумент записується в порядку зростання (див. Рис. 1). Тут числа xi (i = 1,2, ..., n) називають точками узгодження f (x) з g (x) або просто вузлами.

Функція g (x) називається інтерполюючої для f (x), а сама f (x) інтерпольованої, якщо її значення в вузлах інтерполяції xi (i = 1,2, ..., n) збігаються із заданими значеннями функції f (x), то є виконуються рівності: g (x1) = y1, g (x2) = y2, ..., g (xn) = yn. (1) Отже, визначальне властивість - збіг f (x) і g (x) у вузлах (див. рис. 2).

В інших точках може відбуватися що завгодно. Так, якщо інтерполююча функція містить синусоїди (косинусоид), то відхилення від f (х) може бути дуже великою, що малоймовірно. Тому використовуються параболічні (точніше, поліноміальні) інтерполяції.

Для функції, заданої таблицею, залишилося знайти многочлен найменшою мірою Р (х) такою, щоб виконувалися умови інтерполяції (1): P (xi) = yi, i = 1,2, ..., n. Можна довести, що ступінь такого многочлена вбирається (n-1). Для того щоб уникнути плутанини, далі завдання будемо вирішувати на конкретному прикладі чотирьохточкові завдання.

Нехай вузлові точки: x1 = -1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5. y1 = y (-1) = 1, y2 = y (1) = - 5, y3 = y (3) = 29, y4 = y (5) = 245.В зв`язку з викладеним вище, шукану інтерполяцію слід шукати у вигляді P3 (x). Запишіть шуканий многочлен у вигляді P3 (3) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d і складіть систему рівнянь (в числовій формі) a (xi) ^ 3 + b (xi) ^ 2 + c (xi) + d = yi (i = 1, 2, 3, 4) щодо a, b, c, d (див. рис. 3).

Вийшла система лінійних рівнянь. Вирішіть її будь-яким відомим вам способом (найпростіше методом Гаусса) У даному прикладі відповідь: a = 3, b = -4, c = -6, d = 2.Ответ. Інтерполююча функція (многочлен) g (x) = 3x ^ 3-4x ^ 2-6x + 2.