Як вирішувати певні інтеграли

Загальні принципи рішення

Повторіть за підручником з математичного аналізу або вищої математики, що собою представляє певний інтеграл. Як відомо, рішення певного інтеграла є функція, похідна якої дасть підінтегральний вираз. Ця функція називається первісної. За даним принципом і будується таблиця основних інтегралів.
Визначте по виду підінтегральної функції, який з табличних інтегралів підходить в даному випадку. Не завжди вдається це визначити відразу ж. Найчастіше, табличний вигляд стає помітний тільки після декількох перетворень щодо спрощення підінтегральної функції.

Метод заміни змінних

Якщо підінтегральної функцією є тригонометрическая функція, в аргументі якої деякий многочлен, то спробуйте використовувати метод заміни змінних. Для того щоб це зробити, замініть многочлен, що стоїть в аргументі підінтегральної функції, на деяку нову змінну. За співвідношенням між новою і старою змінної визначте нові межі інтегрування. Диференціюванням даного виразу знайдіть новий диференціал в інтегралі. Таким чином, ви отримаєте новий вид колишнього інтеграла, близький або навіть відповідний якомусь табличному.

Рішення інтегралів другого роду

Якщо інтеграл є інтегралом другого роду, що означає векторний вигляд підінтегральної функції, то вам буде необхідно користуватися правилами переходу від даних інтегралів до скалярним. Одним з таких правил є співвідношення Остроградського-Гаусса. Даний закон дозволяє перейти від потоку ротора деякої векторної функції до потрійного інтегралу по дивергенції даного векторного поля.

Підстановка меж інтегрування

Після знаходження первісної необхідно підставити межі інтегрування. Спочатку підставте значення верхньої межі в вираз для первісної. Ви отримаєте деяке число. Далі відніміть з отриманого числа інше число, отримане підстановкою нижньої межі в первісну. Якщо один з меж інтегрування є нескінченністю, то при підстановці її в первісну функцію необхідно перейти до межі і знайти, до чого прагне вираз.
Якщо інтеграл є двовимірним або тривимірним, то вам доведеться зображати геометрично межі інтегрування, щоб розуміти, як розраховувати інтеграл. Адже в разі, скажімо, тривимірного інтеграла межами інтегрування можуть бути цілі площині, що обмежують інтегрований обсяг.