Як вирішити рівняння з логарифмом

З визначення логарифма випливає, що для того щоб вирішити рівняння logaX = b необхідно зробити рівносильний перехід a ^ b = x, якщо agt; 0 і a не дорівнює 1, тобто 7 = logX за основою 2, то x = 2 ^ 5, x = 32.

При вирішенні логарифмічних рівнянь часто переходять до нерівносильні переходу, тому необхідна перевірка отриманих коренів, шляхом підстановки в даний рівняння. Наприклад, дано рівняння log (5 + 2x) по підставі 0,8 = 1, шляхом нерівносильні переходу, виходить log (5 + 2x) по підставі 0,8 = log0,8 по підставі 0,8, можна опустити знак логарифма, тоді виходить рівняння 5 +2 х = 0,8, вирішуючи дане рівняння отримуємо х = -2,1. При перевірки х = -2,1 5 + 2хgt; 0, що відповідає властивостям логарифмічною функції (область визначення логарифмічної області позитивна), отже, х = -2,1 - корінь рівняння.

Якщо невідоме знаходиться в підставі логарифма, то подібне рівняння вирішується тими ж способами. Наприклад, дано рівняння, log9 по підставі (x-2) = 2. Діючи так само як і в попередніх прикладах, отримуємо (х-2) ^ 2 = 9, x ^ 2-4x + 4 = 9, x ^ 2-4x-5 = 0, вирішуючи дане рівняння X1 = -1, X2 = 5. Так як підставу функції повинно бути більше 0 і не дорівнює 1, то залишається тільки корінь X2 = 5.

Найчастіше при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно застосовувати властивості логарифмів:
1) logaXY = loda [X] + loda [Y]
logbX / Y = loda [X] -loda [Y]
2) logfX ^ 2n = 2nloga [X] (2n - парне число)
logfX ^ (2n + 1) = (2n + 1) logaX (2n + 1 - непарне число)
3) logX з підстава a ^ 2n = (1 / 2n) log [a] X
logX з підстава a ^ (2n + 1) = (1 / 2n + 1) logaX
4) logaB = 1 / logbA, b НЕ дорівнює 1
5) logaB = logcB / logcA, c НЕ дорівнює 1
6) a ^ logaX = X, Xgt; 0
7) a ^ logbC = clogbA
Використовуючи дані властивості, ви можете звести логарифмічна рівняння до більш простому типу, а далі вирішувати вже вищевказаними способами.