Як визначити обсяг геометричного тіла

Обсяг геометричного тіла - це деяке позитивне число, яке ставиться йому у відповідність і є однією з основних числових характеристик поряд з площею і периметром. Якщо тіло має об`єм, то його називають кубіруемим, тобто що складається з певної кількості кубів зі стороною одиничної довжини.

Щоб визначити обсяг довільного геометричного тіла, потрібно розбити його на частини, що представляють собою прості фігури, а потім скласти їх обсяги. Для цього необхідно обчислити визначений інтеграл від функції площі горизонтального перетину:

V =? _ (A, b) S (x) dx, де (a, b) - інтервал на координатної осі Ox, на якому існує функція S (x).

Тіло, що володіє лінійними вимірами (довжиною, шириною і висотою), є многогранником. Такі фігури мають широке поширення в геометрії. Це стандартні тетраедр, паралелепіпед і його різновиди, призма, циліндр, сфера та ін. Для кожної з них існують готові доведені формули, які використовуються при вирішенні завдань.

У загальному вигляді обсяг можна знайти, помноживши площу основи на висоту. У деяких випадках ситуація ще більше спрощується. Наприклад, в прямому і прямокутному паралелепіпеді обсяг дорівнює добутку всіх його вимірів, а для куба ця величина перетворюється в довжину сторони в третього ступеня.

Обсяг призми розраховується через твір площі перерізу, перпендикулярного бічного ребра, і довжини цього ребра. Якщо призма пряма, то перша величина дорівнює площі підстави. Призма - різновид узагальненого циліндра з багатокутником в основі. Поширений круговий циліндр, обсяг якого визначається за такою формулою:

V = S • l • sin?, Де S - площа підстави, l - довжина твірної лінії,? - кут між цією лінією і підставою. Якщо цей кут прямий, то V = S • l, тому що sin 90 ° = 1. Оскільки в основі кругового циліндра лежить коло, то V = 2 •? • r? • l, де r - її радіус.

Частина простору, обмежена сферою, називається кулею. Щоб отримати його обсяг, потрібно знайти певний інтеграл від площі бічної поверхні по x від 0 до r:

V =? _ (0, r) 4 •? • x? dx = 4/3 •? • r ?.