Лінійні і однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Приклади розв`язання

Думаю, нам варто почати з історії такого славного математичного інструменту як диференціальні рівняння. Як і всі диференціальні і інтегральні обчислення, ці рівняння були винайдені Ньютоном в кінці 17-го століття. Він вважав саме це своє відкриття настільки важливим, що навіть зашифрував послання, яке сьогодні можна перевести приблизно так: "Всі закони природи описуються диференціальними рівняннями". Це може бути перебільшенням, але все так і є. Будь-який закон фізики, хімії, біології можна описати цими рівняннями.

Величезний внесок у розвиток і створення теорії диференціальних рівнянь внесли математики Ейлер і Лагранж. Уже в 18-м столітті вони відкрили і розвинули те, що зараз вивчають на старших курсах університетів.

Нова віха у вивченні диференціальних рівнянь почалася завдяки Анрі Пуанкаре. Він створив "якісну теорію диференціальних рівнянь", Яка в поєднанні з теорією функцій комплексного змінного внесла значний вклад в основу топології - науки про простір і його властивості.

Що таке диференціальні рівняння?

Багато хто боїться одного словосполучення "диференціальне рівняння". Однак в цій статті ми детально розповімо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не так складний, як здається з назви. Для того щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку познайомитися з основними поняттями, які невід`ємно пов`язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціала.

диференціал

Багато хто знає це поняття ще зі школи. Однак все ж зупинимося на ньому детальніше. Уявіть собі графік функції. Ми можемо збільшити його до такої міри, що будь-який його відрізок прийме вигляд прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько один до одного. Різниця їх координат (x або y) буде нескінченно малою величиною. Її і називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) і dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його сенс і основна функція.

А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який нам стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це - похідна.

похідна

Всі ми напевно чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання або спадання функції. Однак з цього визначення багато що стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Давайте повернемося до нескінченно малому відрізку функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за яку функція встигає змінитися на якусь величину. І щоб описати це зміна і придумали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f (x) `= df / dx.

Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх всього три:

1. Похідну суми або різниці можна уявити як суму або різницю похідних: (a + b) `= a` + b` і (a-b)` = a`-b`.
2. Друге властивість пов`язана з множенням. Похідна твори - це сума добутків однієї функції на похідну інший: (a * b) `= a` * b + a * b`.
3. Похідну різниці записати можна в вигляді наступного рівності: (a / b) `= (a` * b-a * b`) / b².

Всі ці властивості нам знадобляться для знаходження розв`язків диференціальних рівнянь першого порядку.

Також бувають приватні похідні. Припустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x і y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x, нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продифференцировать.

інтеграл

Інша важлива поняття - інтеграл. По суті це пряма протилежність похідною. Інтеграли бувають декількох видів, але для вирішення найпростіших диференціальних рівнянь нам знадобляться самі тривіальні невизначені інтеграли.

Отже, що таке інтеграл? Припустимо, у нас є деяка залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F (x) (часто її називають первісною), похідна від якої дорівнює первісної функції. Таким чином F (x) `= f (x). Звідси випливає також, що інтеграл від похідної дорівнює первісної функції.

При вирішенні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, так як доведеться дуже часто їх брати для знаходження рішення.

Рівняння бувають різними в залежності від своєї природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, а потім і навчимося їх вирішувати.

Класи диференціальних рівнянь

"Діффури" діляться по порядку похідних, що беруть участь в них. Таким чином буває перший, другий, третій і більше порядок. Їх також можна поділити на кілька класів: звичайні і в приватних похідних.

У цій статті ми розглянемо звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Приклади і способи їх вирішення ми також обговоримо в наступних розділах. Будемо розглядати тільки ОДУ, тому що це найпоширеніші види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з перемінними, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчитеся їх вирішувати.

Крім того, ці рівняння можна об`єднувати, щоб після у нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми теж розглянемо і навчимося вирішувати.

Відео: Приклад 66. Розв`язати диференціальне рівняння 2 порядки

Чому ми розглядаємо тільки перший порядок? Тому що потрібно починати з простого, а описати все, пов`язане з диференціальнимирівняннями, в одній статті просто неможливо.

Рівняння з відокремлюваними змінними

Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого порядку. До них відносяться приклади, які можна записати так: y` = f (x) * f (y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула уявлення похідною як відносини диференціалів: y` = dy / dx. За допомогою неї отримуємо таке рівняння: dy / dx = f (x) * f (y). Тепер ми можемо звернутися до методу вирішення стандартних прикладів: розділимо змінні по частинах, т. Е. Перенесемо все зі змінною y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо зі змінною x. Отримаємо рівняння виду: dy / f (y) = f (x) dx, яке вирішується взяттям інтегралів від обох частин. Не варто забувати і про константі, яку потрібно ставити після взяття інтеграла.

Відео: Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння - bezbotvy

рішення будь-якого "діффура" - це функція залежності x від y (в нашому випадку) або, якщо є присутнім чисельну умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладі весь хід рішення:

y` = 2y * sin (x)

Переносимо змінні в різні боки:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Тепер беремо інтеграли. Всі їх можна знайти в спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Якщо потрібно, ми можемо висловити "ігрек" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умова. Може бути задана умова, наприклад, y (п / 2) = e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних в рішення і знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно дорівнює 1.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Тепер переходимо до більш складної частини. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному вигляді так: y` = z (x, y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її не можна розділити на дві залежності: z від x і z від y. Перевірити, чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто: ми робимо заміну x = k * x і y = k * y. Тепер скорочуємо всі k. Якщо всі ці букви скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. Забігаючи наперед, скажемо: принцип вирішення цих прикладів теж дуже простий.

Нам потрібно зробити заміну: y = t (x) * x, де t - якась функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y` = t` (x) * x + t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад із перемінними t і x. Вирішуємо його і отримуємо залежність t (x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо в нашу попередню заміну y = t (x) * x. Тоді отримуємо залежність y від x.

Щоб було зрозуміліше, розберемо приклад: x * y` = y-x * e^{y / x}.

При перевірці з заміною все скорочується. Значить, рівняння дійсно однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y = t (x) * x і y` = t` (x) * x + t (x). Після спрощення отримуємо наступне рівняння: t` (x) * x = -e^t. Вирішуємо вийшов приклад з розділеними змінними і отримуємо: e^-t= Ln (C * x). Нам залишилося тільки замінити t на y / x (адже якщо y = t * x, то t = y / x), і ми отримуємо відповідь: e^{-y / x}= Ln (x * С).

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку в загальному вигляді можна записати таким рівністю: y` + g (x) * y = z (x). Варто уточнити, що z (x) і g (x) можуть бути постійними величинами.

А тепер приклад: y` - y * x = x².

Існує два способи вирішення, і ми по порядку розберемо обидва. Перший - метод варіації довільних констант.

Для того щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частину до нуля і вирішити вийшло рівняння, яке після перенесення частин набуде вигляду:

y` = y * x-

dy / dx = y * x-

dy / y = xdx-

ln | y | = x²/ 2 + C-

y = e^{x2 / 2}* у^З= C₁* e^{x2 / 2}.

Тепер треба замінити константу C₁ на функцію v (x), яку ми маємо знайти.

y = v * e^{x2 / 2}.

Проведемо заміну похідною:

y` = v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

І підставимо ці вирази у вихідне рівняння:

v` * e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = x².

Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданків. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, значить ви щось зробили не так. продовжимо:

v` * e^{x2 / 2} = x².

Тепер вирішуємо звичайне рівняння, в якому потрібно розділити змінні:

dv / dx = x²/ e^{x2 / 2}-

dv = x²* e^{-x2 / 2}dx.

Щоб витягти інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування по частинах. Однак це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і при достатньому навичці і уважності не забирає багато часу.

Звернемося до другого способу вирішення неоднорідних рівнянь: методу Бернуллі. Який підхід швидше і простіше - вирішувати тільки вам.

Отже, при вирішенні рівняння цим методом нам необхідно зробити заміну: y = k * n. Тут k і n - деякі залежні від x функції. Тоді похідна буде виглядати так: y` = k` * n + k * n`. Підставляємо обидві заміни в рівняння:

k` * n + k * n` + x * k * n = x².

групуємо:

k` * n + k * (n` + x * n) = x².

Тепер треба прирівняти до нуля то, що знаходиться в дужках. Тепер, якщо об`єднати два отриманих рівняння, виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити:

Відео: Лінійні диференціальні рівняння і системи

n` + x * n = 0

k` * n = x².

Перше рівність вирішуємо, як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні:

dn / dx = x * v-

dn / n = xdx.

Беремо інтеграл і отримуємо: ln (n) = x²/ 2. Тоді, якщо висловити n:

n = e^{x2 / 2}.

Тепер підставляємо вийшло рівність в друге рівняння системи:

k` * e^{x2 / 2}= x².

І перетворюючи, отримуємо те ж саме рівність, що і в першому методі:

dk = x²/ e^{x2 / 2}.

Ми також не будемо розбирати подальші дії. Варто сказати, що спочатку рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає суттєві труднощі. Однак при більш глибокому зануренні в тему це починає виходити все краще і краще.

Де використовуються диференціальні рівняння?

Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, так як майже всі основні закони записуються в диференціальної формі, а ті формули, які ми бачимо - рішення цих рівнянь. У хімії вони використовуються з тієї ж причини: основні закони виводяться з їх допомогою. У біології диференціальні рівняння використовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, скажімо, колонії мікроорганізмів.

Як диференціальні рівняння допоможуть в житті?

Відповідь на це питання проста: ніяк. Якщо ви не вчений або інженер, то навряд чи вони вам знадобляться. Однак для загального розвитку не завадить знати, що таке диференціальне рівняння і як воно вирішується. І тоді питання сина чи доньки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас в глухий кут. Ну а якщо ви вчений або інженер, то і самі розумієте важливість цієї теми в будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер на питання "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш те, чого люди навіть бояться розібратися.

Основні проблеми при вивченні

Основною проблемою в розумінні цієї теми є поганий навик інтегрування і диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні і інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методи інтегрування та диференціювання, і тільки потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний в статті.

Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (в школі) стверджувалося, що дріб dy / dx є неподільною. Тут треба почитати літературу по похідною і зрозуміти, що вона є відношенням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати при вирішенні рівнянь.

Багато хто не відразу усвідомлюють, що рішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або не береться інтеграл, і це помилка доставляє їм чимало клопоту.

Що ще можна вивчити для кращого розуміння?

Найкраще почати подальше занурення в світ диференціального обчислення зі спеціалізованих підручників, наприклад, з математичного аналізу для студентів нематематичних спеціальностей. Потім можна переходити і до більш спеціалізованої літератури.

Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняння, так що вам завжди буде до чого прагнути і що вивчати.

висновок

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті у вас з`явилося уявлення про те, що таке диференціальні рівняння і як їх правильно вирішувати.

У будь-якому випадку математика якимось чином стане в нагоді нам у житті. Вона розвиває логіку і увагу, без яких кожна людина як без рук.