Приклади того, як обчислити площу циліндра

Існує велика кількість завдань, пов`язаних з циліндром. У них потрібно знаходити радіус і висоту тіла або вид його перетину. Плюс до всього, іноді потрібно обчислити площу циліндра і його обсяг.

Яке тіло є циліндром?

В курсі шкільної програми вивчається кругової, тобто є таким в підставі, циліндр. Але виділяють ще і еліптичний вигляд даної фігури. З назви зрозуміло, що його підставою буде еліпс або овал.

Підстав у циліндра два. Вони дорівнюють один одному і з`єднані відрізками, які поєднують відповідні точки підстав. Вони називаються утворюють циліндра. Все що утворюють паралельні один одному і рівні. Саме вони складають бічну поверхню тіла.

У загальному випадку циліндр - це похиле тіло. Якщо утворюють складають прямий кут з підставами, то говорять вже про прямий фігурі.

Цікаво, що круговий циліндр є тілом обертання. Він виходить від повороту прямокутника навколо однієї з його сторін.

Основні елементи циліндра

Основні елементи циліндра виглядають наступним чином.

1. Висота. Вона є найкоротшим відстанню між основами циліндра. Якщо він прямий, то висота збігається з котра утворює.
2. Радіус. Збігається з тим, який можна провести в підставі.
3. Вісь. Це пряма лінія, яка містить центри обох підстав. Ось завжди паралельна всім утворюючим. У прямому циліндрі вона перпендикулярна підставах.
4. Осьовий переріз. Воно утворюється при перетині циліндра площиною, що містить вісь.
5. Дотична площину. Вона проходить через одну з утворюють і перпендикулярна осьового перерізу, яке проведено через цю твірну.

Як пов`язаний циліндр з вписаною в нього або описаного навколо нього призмою?

Іноді зустрічаються завдання, в яких потрібно обчислити площу циліндра, а відомі при цьому деякі елементи пов`язаної з ним призми. Як співвідносяться ці фігури?

Якщо призма вписана в циліндр, то її заснування - рівні багатокутники. Причому вони вписані в відповідні підстави циліндра. Бічні ребра призми збігаються з утворюють.

У описаної призми в підставах перебувають правильні багатокутники. Вони описані близько кіл циліндра, що є його підставами. Площині, які містять грані призми, стосуються циліндра по утворюючим.

Про площі бічної поверхні і підстави для прямого кругового циліндра

Якщо зробити розгортку бічної поверхні, то вийде прямокутник. Його сторони будуть збігатися з котра утворює і довжиною кола підстави. Тому бічна площа циліндра буде дорівнює добутку цих двох величин. Якщо записати формулу, то отримаємо таке:

S_пліч= L * н,

де н - утворює, l - довжина кола.

Причому останній параметр обчислюється за формулою:

l = 2 &pi- * r,

тут r - радіус кола, &pi- - число "пі ", Рівне 3,14.

Оскільки підстава - коло, то його площа обчислюється за допомогою такого виразу:

S_осн = &pi- * r².

Про площі всієї поверхні прямого кругового циліндра

Так як вона утворена двома підставами і бічною поверхнею, то потрібно скласти ці три величини. Тобто повна площа циліндра буде обчислюватися за формулою:

S_{підлога} = 2 &pi- * r * н + 2 &pi- * r².

Часто її записують в іншому вигляді:

S_{підлога}= 2 &pi- * r (н + r).

Про площах похилого кругового циліндра

Що стосується підстав, то там все формули ті ж, адже вони як і раніше кола. А ось бічна поверхня вже не дає прямокутника.

Для розрахунку площі бічної поверхні похилої циліндра потрібно перемножити значення утворює і периметра перетину, яке буде перпендикулярно обраної утворює.

Формула виглядає так:

S_пліч= Х * Р,

де х - довжина твірної циліндра, Р - периметр перетину.

Відео: Знаходження площі бічної поверхні циліндра

Перетин, до речі, краще вибирати таке, щоб воно утворювало еліпс. Тоді будуть спрощені розрахунки його периметра. Довжина еліпса обчислюється за формулою, яка дає приблизний відповідь. Але його часто буває достатньо для задач шкільного курсу:

l = &pi- * (а + в),

Відео: Обчислення обсягу циліндра

де "а" і "в" - півосі еліпса, тобто відстані від центру до найближчої і найдальшої його точок.

Площа всієї поверхні потрібно обчислювати за допомогою такого виразу:

S_{підлога} = 2 &pi- * r² + х * Р.

Чому рівні деякі перетину прямого кругового циліндра?

Коли перетин проходить через вісь, то його площа визначається як добуток утворює і діаметра підстави. Це пояснюється тим, що воно має вигляд прямокутника, сторони якого збігаються з позначеними елементами.

Щоб знайти площу перерізу циліндра, що є паралельним осьового, потрібно теж формула для прямокутника. У цій ситуації одна його сторона буде як і раніше збігатися з висотою, а інша дорівнює хорді підстави. Остання ж збігається з лінією перетину по підставі.

Коли перетин перпендикулярно осі, то воно має вигляд кола. Причому його площа така ж, як у підстави фігури.

Можливо ще перетин під деяким кутом до осі. Тоді в перерізі виходить овал або його частину.

приклади завдань

Завдання №1. Дан прямий циліндр, площа підстави якого 12,56 см². Необхідно обчислити повну площу циліндра, якщо його висота дорівнює 3 см.

Відео: Обсяг циліндра і площа його поверхні

Рішення. Необхідно скористатися формулою для повної площі кругового прямого циліндра. Але в ній не вистачає даних, а саме радіусу підстави. Зате відома площа кола. З неї легко обчислити радіус.

Він виявляється рівним квадратному кореню з приватного, яке виходить від ділення площі підстави на пі. Після поділу 12,56 на 3,14 виходить 4. Квадратний корінь з 4 - це 2. Тому радіус матиме саме таке значення.

Тепер можна підрахувати площу бічної поверхні. Для цього слід помножити пі на радіус, висоту і 2. Твір буде виглядати так: 3,14 * 3 * 2 * 2. Підсумком дій є: 37,68 см².

Для того щоб порахувати повну площу потрібно скласти два підстави (12,56 см²) І бічну поверхню (37,68 см²). В результаті виходить число 50,24 см².

Відповідь: S_{підлога} = 50,24 см².

Завдання №2. Циліндр з радіусом 5 см попереджено площиною, паралельної осі. Відстань від перетину до осі дорівнює 3 см. Висота циліндра - 4 см. Потрібно знайти площу перерізу.

Рішення. Форма перетину - прямокутна. Одна його сторона збігається з висотою циліндра, а інша дорівнює хорді. Якщо перша величина відома, то другу потрібно знайти.

Для цього слід зробити додаткове побудова. У підставі проводимо два відрізки. Обидва вони будуть починатися в центрі кола. Перша буде закінчуватися в центрі хорди і рівнятися відомому відстані до осі. Друга - на кінці хорди.

Вийде прямокутний трикутник. У ньому відомі гіпотенуза і один з катетів. Гіпотенуза збігається з радіусом. Другий катет дорівнює половині хорди. Невідомий катет, помножений на 2, дасть шукану довжину хорди. Обчислимо його значення.

Для того щоб знайти невідомий катет, потрібно звести в квадрат гіпотенузи і відомий катет, відняти від першого друге і витягти квадратний корінь. Квадрати рівні 25 і 9. Їх різниця - 16. Після вилучення квадратного кореня залишається 4. Це шуканий катет.

Хорда буде дорівнює 4 * 2 = 8 (см). Тепер можна обчислити площу перерізу: 8 * 4 = 32 (см²).

Відповідь: S_січ дорівнює 32 см².

Відео: Завдання на обчислення висоти циліндра

Завдання №3. Необхідно обчислити площу осьового перерізу циліндра. Відомо, що в нього вписаний куб з ребром 10 см.

Рішення. Осьовий переріз циліндра збігається з прямокутником, який проходить через чотири вершини куба і містить діагоналі його підстав. Сторона куба є твірної циліндра, а діагональ підстави збігається з діаметром. Твір цих двох величин дасть площа, яку потрібно дізнатися в задачі.

Для пошуку діаметра потрібно скористатися знанням того, що в основі куба - квадрат, а його діагональ утворює рівносторонній прямокутний трикутник. Гіпотенуза його є шуканої діагоналлю фігури.

Для її розрахунку потрібно формула теореми Піфагора. Потрібно звести в квадрат сторону куба, помножити її на 2 і витягти квадратний корінь. Десять в другому ступені - це сто. Помножене на 2 - двісті. Квадратний корінь з 200 дорівнює 10&radic-2.

Перетин - це знову прямокутник зі сторонами 10 і 10&radic-2. Його площа легко порахувати, перемноживши ці значення.

Відповідь. S_січ = 100&radic-2 см².