Як зрозуміти одиничну окружність

Запам`ятайте 6 тригонометричних співвідношень. Пам`ятайте, що

Що таке радіан. Радіан - один із заходів для визначення величини кута. Один радіан - це величина кута між двома радіусами, проведеними так, що довжина дуги між ними дорівнює величині радіуса. Зауважте, що при цьому величина і розташування кола не грають ніякої ролі. Слід також знати, чому дорівнює число радіан для повної окружності (360 градусів). Згадайте, що довжина кола дорівнює 2 r, що перевищує довжину радіуса в 2 рази. Оскільки за визначенням 1 радіан - це кут між кінцями дуги, довжина якої дорівнює радіусу, в повної окружності укладено кут, рівний 2 радіан.

Вмійте перевести радіани в градуси. У повної окружності міститься 2 радіан, або 360 градусів. Таким чином:

вивчіть "особливі" кути. Ці кути в радіанах складають / 6, / 3, / 4, / 2, і твори даних величин (наприклад, 5/6)

Вивчіть і запам`ятайте значення тригонометричних функцій для особливих кутів. Для визначення їх величин ви повинні поглянути на одиничну окружність. Згадайте про відрізок задовгі, укладеному в одиничному колі. Точка на окружності відповідає кількості радіан в утвореному вугіллі. Наприклад, кутку / 2 відповідає точка на окружності, радіус до якої утворює з позитивним горизонтальним радіусом кут величиною / 2. Для знаходження значення тригонометричної функції будь-якого кута визначаються координати точки, що відповідає цьому кутку. Гіпотенуза завжди дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом кола, і так як будь-яке число, поділене на 1, дорівнює самому собі, а протилежний катет дорівнює довжині вздовж осі Оy, це означає, що значення синуса будь-якого кута - це координата y відповідної точки на колі. Значення косинуса можна знайти схожим чином. Косинус дорівнює довжині прилеглого катета, поділеній на довжину гіпотенузи- оскільки остання дорівнює одиниці, а довжина прилеглого катета дорівнює координаті x точки на колі, це означає, що косинус дорівнює значенню цієї координати. Знайти тангенс трохи складніше. Тангенс кута прямокутного трикутника дорівнює протилежного катета, поділеній на прилеглий. В даному випадку, на відміну від попередніх, приватне не є константою, тому обчислення кілька ускладнюються. Згадаймо, що довжина протилежного катета дорівнює координаті y, а прилеглого - координаті x точки на одиничному окружності- підставивши ці значення, отримаємо, що тангенс дорівнює y / x. Поділивши 1 на знайдені вище значення, можна легко знайти відповідні зворотні тригонометричні функції. Таким чином, можна розрахувати всі основні тригонометричні функції:

Знайдіть і запам`ятайте значення шести тригонометричних функцій для кутів, що лежать на координатних осях, тобто кутів, кратних / 2, таких як 0, / 2, 3/2, 2 і т.д. Для точок кола, які перебувають на координатних осях, це не становить жодних проблем. Якщо точка лежить на осі Оx, синус дорівнює нулю, а косинус - 1 або -1, в залежності від напрямку. Якщо ж точка лежить на осі Оy, синус дорівнюватиме 1 або -1, а косинус - 0.

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута / 6. Нанесіть кут / 6 на одиничну окружність. Ви знаєте, як знаходити довжини всіх сторін особливих прямокутних трикутників (з кутами 30-60-90 та 45-45-90) за відомою довжині однієї зі сторін, а оскільки / 6 = 30 градусів, даний трикутник є одним з особливих випадків. Для нього, як ви пам`ятаєте, короткий катет дорівнює 1/2 гіпотенузи, тобто координата y становить 1/2, а довгий катет довше короткого в 3 раз, тобто дорівнює (3) / 2, так що координата x буде (3) / 2. Таким чином, отримуємо точку на одиничному колі з наступними координатами: ((3) / 2,1 / 2). Користуючись наведеними вище равенствами, знаходимо:

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута / 3. Кут / 3 відображається на окружності точкою, у якій координата x дорівнює координаті y кута / 6, а координата y така ж, як x для цього кута. Таким чином, точка має координати (1/2, 3/2). В результаті отримуємо:

Знайдіть і запам`ятайте значення 6 тригонометричних функцій для особливого кута / 4. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з кутами 45-45-90 відноситься до довжин його катетів як 2 до 1, так само будуть співвідноситися і значення координат точки на одиничному колі. У підсумку маємо:

Використовуйте правильне значення кута. Ви вже знайшли значення основних тригонометричних функцій для трьох особливих кутів, але зробили це лише для першого квадранта. Якщо вам необхідно обчислити значення функцій для більшого або меншого кута, спочатку визначте, до якого "сімейства" належить даний кут. Наприклад, кут / 3 входить в той же сімейство, що і кути 2/3, 4/3 і 5/3. Загальне правило при цьому полягає в тому, щоб якомога більше скоротити чисельник і знаменник, а потім подивитися на значення знаменника.