Як знайти синус кута між векторами

Використовуйте для визначення синуса кута між двома векторами відомі формули скалярного множення векторів. Таких формул існує, як мінімум, дві. В одній з них в якості змінної задіяний косинус потрібного кута, дізнавшись який ви зможете обчислити і синус.

Складіть рівність і виокремити з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів одно їх довжинах, перемноження друг на дружку і на косинус кута, а по інший - сумі творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кута має дорівнювати відношенню суми творів координат до твору довжин векторів.

Запишіть отримане рівність. Для цього треба позначити координати обох векторів. Припустимо, вони дані в тривимірній декартовій системі і їх початкові точки перенесені на початок координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X?, Y?, Z?), Другого - (X?, Y?, Z?), А кут позначте буквою?. Тоді довжини кожного з векторів можна вирахувати, наприклад, по теоремі Піфагора для трикутників, утворених їх проекціями на кожну з координатних осей:? (X ?? + Y ?? + Z ??) і? (X ?? + Y ?? + Z ??). Підставте ці вирази в сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте таке рівність: cos (?) = (X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?) / (? (X ?? + Y ?? + Z ??) *? (X ?? + Y ?? + Z ??)).

Використовуйте той факт, що сума зведених в квадрат значень синуса і досинуса від кута однієї величини завжди дає одиницю. Значить, звівши отримане на попередньому кроці вираз для косинуса в квадрат і віднявши від одиниці, а потім знайди квадратний корінь, ви вирішите задачу. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin (?) =? (1-cos (?)?) =? (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?) / (? (X ?? + Y ?? + Z ??) *? (X ?? + Y ?? + Z ??))?) =? (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)? / ((X ?? + Y ?? + Z ??) * (X ?? + Y ?? + Z ??))).