Як обчислити визначник, розклавши його по елементах рядка

Обчислити визначник матриці можна двома способами: за методом трикутника або розклавши його по елементам рядки або стовпця. У другому випадку це число виходить шляхом підсумовування творів з трьох складових: значень самих елементів, (-1) ^ k і миноров матриці порядку n-1 :? =? a_ij • (-1) ^ k • M_j, де k = i + j - сума номерів елемента, n - розмірність матриці.

визначник можна знайти тільки для квадратної матриці будь-якого порядку. Наприклад, якщо він дорівнює 1, то визначником буде єдиний елемент. Для матриці другого порядку починає діяти наведена вище формула. Розкладіть визначник по елементам першій рядки:? _ 2 = a11 • (-1)? • M11 + a12 • (-1)? • M12.

Мінор матриці - це теж матриця, порядок якої на 1 менше. Вона виходить з вихідної за допомогою алгоритму викреслювання відповідної рядки і стовпці. В даному випадку мінори будуть складатися з одного елемента, оскільки матриця має другу розмірність. Приберіть перший рядок і перший стовпець, і ви отримаєте M11 = a22. Викресліть перший рядок і другий стовпець, і знайдете M12 = a21. Тоді формула прийме наступний вигляд:? _ 2 = a11 • a22 - a12 • a21.

визначник другого порядку - один з найпоширеніших в лінійної алгебри, тому ця формула використовується дуже часто і не вимагає постійного виведення. Таким же чином можна обчислити визначник третього порядку, в цьому випадку вираз буде більш громіздким і складатися з трьох складових: елементів першої рядки і їх миноров:? _ 3 = a11 • (-1)? • M11 + a12 • (-1)? • M12 + a13 • (-1) ^ 4 • M13.

Очевидно, що мінори такої матриці будуть мати другий порядок, отже, їх можна розрахувати як визначник другого порядку за правилом, наведеним раніше. Послідовно викреслюється: рядок1 + столбец1, рядок1 + столбец2 і рядок1 + столбец3:? _ 3 = a11 • (a22 • a33 - a23 • a32) - a12 • (a21 • a33 - a23 • a31) + a13 • (a21 • a32 - a22 • a31) == a11 • a22 • a33 + a12 • a23 • a31 + a13 • a21 • a32 - a11 • a23 • a32 - a12 • a21 • a33 - a13 • a22 • a31.